次の図の立体は１辺が６cmの立方体で，点Ａは立方体の頂点，点Ｂ，Ｃはそれ

ぞれ辺のまん中の点です。３点Ａ，Ｂ，Ｃを通る平面でこの立方体を切り，２つ

の立体に分けました。次の[　]に適当な数を入れなさい。

(1) 次の１〜４のうち，切り口の図形は[　]です。

　　1.三角形　 2.四角形　　3.五角形　　4.六角形

(2) ２つの立体の表面積の差は[　]ｃm2です。

（解答）

(1) 図１のように立方体の頂点Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，Ｉ，Ｊを決め，以下の手順

　　で切り口を考えます。

　　図２で，２点Ｂ，Ｃは平面ＧＨＩＪ上にあるので，直線ＢＣが切り口の１つ

　　になります。直線ＢＣと２平面ＡＤＨＧ，ＡＦＪＧの交点をそれぞれＫ，Ｌ

　　とします。

　　図３で，直線ＡＫと辺ＤＨの交点をＭ，直線ＡＬと辺ＦＪの交点をＮとしま

　　す。

　　図４で，２辺ＢＭ，ＣＮを引きます。

　　図５で，赤く塗られた五角形ＡＭＢＣＮが切り口になります。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答　３

(2) 五角形ＡＭＢＣＮは２つの立体に共通なので，他の面（すべてもとの立方体

　　の表面）の差で考えます。

　　上の図５で，３つの三角形ＩＢＣ，ＨＢＫ，ＪＬＣは合同な直角二等三角形

　　なので，ＨＫ＝ＪＬ＝３ｃｍになります。

　　２つの三角形ＡＧＬ，ＭＨＢは相似で，ＡＧ：ＭＨ＝ＧＬ：ＨＢなので，

　　　ＭＨ＝ＡＧ×ＨＢ÷ＧＬ＝６×３÷(６＋３)＝２ｃｍ

　　同様にして，ＮＪ＝２ｃｍです。

　　図６の展開図の赤く塗られた部分が頂点Ｅを含む側，青く塗られた部分が頂

　　点Ｇを含む側です。

　　２つの三角形ＡＤＭ，ＢＨＭが相似になるので，３点Ａ，Ｍ，Ｂは一直線上

　　に並びます。同様に３点Ａ，Ｎ，Ｃも一直線上に並びます。

　　青く塗られた部分は，

　　　(３＋６＋６＋３)×６÷２＋(６×６−３×３÷２)

　　　＝５４＋３１.５

　　　＝８５.５ｃm2

　　赤く塗られた部分は，

　　　６×６×６−８５.５＝２１６−８５.５＝１３０.５ｃm2

　　表面積の差は，

　　　１３０.５−８５.５＝４５ｃm2

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答　４５ｃm2