次の図のように，たてａｍ，横20ｍ，高さ10ｍの直方体を，底面に平行な面と

　底面に垂直な面で切り，４つの四角柱ア，イ，ウ，エに分けました。

　３つの四角柱ア，イ，ウの体積の比は３：２：５です。

［1］ ｅはいくらですか。また，ｂとｃの和はいくらですか。

［2］四角柱アの表面積は，四角柱イの表面積より80ｃm2だけ大きく，また，２

　つの四角柱ア，エの表面積の比は６：７です。

　(1) ａとｄの和はいくらですか。

　(2) ａはいくらですか。

（解答）

［1］２つの四角柱アとイは底面が合同なので，体積の比は高さの比と同じです。

　　　アとイの体積の比は３：２なので，高さの比も３：２になります。

　　　　ｅ＝１０×＝６(ｃｍ)

　　　２つの四角柱アとイはともに高さがｅで等しく，体積の比は底面の台形の

　　　面積の比になります。高さが等しい台形は対角線で２つの三角形に分けて，

　　　底辺の和（上底と下底の和）の比になります。

　　　アとウの体積の比は３：５なので，上底と下底の和の比も３：５になりま

　　　す。

　　　　ｂ＋ｃ＝２０×２×＝１５(ｃｍ)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答　ｅ＝６，ｂ＋ｃ＝１５

［2］

　(1) アとイの表面積の差は，下の図１でアの展開図の赤く塗られた部分で生じ

　　　ます。

　　　この部分は，縦２ｃｍ，横(ａ＋ｃ＋ｂ＋ｄ)ｃｍの長方形なので，

　　　　ａ＋ｃ＋ｂ＋ｄ＝８０÷２＝４０(ｃｍ)

　　　　ａ＋ｄ＝(ａ＋ｃ＋ｂ＋ｄ)−(ｂ＋ｃ)＝４０−１５＝２５(ｃｍ)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答　ａ＋ｄ＝２５

　(2) 下の図２のように，

　　　アの底面の周は，　ａ＋ｃ＋ｂ＋ｄ＝４０(ｃｍ)

　　　アの側面積は，　　６×４０＝２４０(ｃm2)

　　　エの底面の周は，　ｄ＋ｆ＋ａ＋ｇ

　　　　　　　　　　　　＝(ａ＋ｄ)＋(ｆ＋ｇ)

　　　　　　　　　　　　＝(ａ＋ｄ)＋{２０×２−(ｂ＋ｃ)}

　　　　　　　　　　　　＝２５＋(４０−１５)＝５０(ｃｍ)

　　　エの側面積は，　　(１０−６)×５０＝２００(ｃm2)

　　　アとエの底面積の比は，アとウの底面積の比，つまりアとウの体積の比と

　　　同じだから，３：５です。

　　　アの底面積を３とすると，角柱の表面積＝底面積×２＋側面積だから，

　　　　アの表面積＝３×２＋２４０ｃm2＝６＋２４０ｃm2

　　　　エの表面積＝５×２＋２００ｃm2＝１０＋２００ｃm2

　　　アの表面積：エの表面積＝６：７だから，倍数算の計算法を利用して，

　　　　(６＋２４０ｃm2)×７＝４２＋１６８０ｃm2

　　　　(１０＋２００ｃm2)×６＝６０＋１２００ｃm2

　　　この２つの量の大きさが等しいので，

　　　　１＝(１６８０−１２００)÷(６０−４２)＝４８０÷１８＝ｃm2

　　　アの底面積は，×３＝８０ｃm2

　　　アの底面は，上底と下底の和が１５ｃｍ，高さがａｃｍの台形だから，

　　　　ａ＝８０×２÷１５＝１０(ｃｍ)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答　ａ＝１０

　　　＊他にも解法はありますが，桐朋中レベルの上位・難関校を考えて，上の

　　　　ような倍数算の計算を利用しています。