図１のような容器の上から２cmのところまで水が入っています。図２はこの容

器を正面から見た図です。このとき，次の問いに答えなさい。

(1) この容器を，ＣとＤが水平になるまでゆっくりと右へ傾けました。こぽれた

　水の量を求めなさい。

(2) 次に元の位置にもどし，今度はＡとＢが水平になるまでゆっくりと左へ傾け

　てから元にもどし，さらにそれをＣとＤが水平になるまでゆっくりと右へ傾け

　ました。このとき，水面は点Ｐのところにきました。ＤＰの長さを求めなさい。

（解答）

　容器を手前側の面に垂直になるように見て考えると，水が入っている部分は以

　下の各図の赤く塗られた図形を底面とし高さを５cmとする角柱になります。ま

　た，高さが等しい角柱の体積の関係は底面積の関係で決まるので，すべての図

　で底面積，つまり赤く塗られた図形の面積を考えて答を求めることができます。

(1) 最初の状態は図３のようになります（ＥＦが水面）。それが，ＣとＤが水平に

　　なるまで傾けると図４のようになります（ＧＩが水面）。

　　ここで，三角形ＣＤＨが直角二等辺三角形になので，三角形ＧＤＩも直角二

　　等辺三角形になります。

（解法１）残っている水に目を付けます。

　　図３で水が入っている部分の底面は，縦１６ｃｍ，横１８ｃｍの長方形から，

　　縦１２ｃｍ，横６ｃｍの長方形と１辺６ｃｍの正方形を除いたものだから，

　　　１６×１８−(１２×６＋６×６)＝１８０ｃm2

　　図４で水が入っている部分の底面は，正方形ＧＢＣＨと三角形ＤＩＧを合わ

　　せたものだから，

　　　６×６＋１２×１２÷２＝１０８ｃm2

　　こぼれた水の体積は，これら２つの図形の底面積の差を底面として，高さを

　　５ｃｍとする角柱の体積にあたるので，

　　　(１８０−１０８)×５＝３６０ｃm3

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答　３６０ｃm3

（解法２）水が入っていない部分の体積に目を付けます。

　　図３で水が入っていない部分の底面は，縦２ｃｍ，横１８ｃｍの長方形だか

　　ら，

　　　２×１８＝３６ｃm2

　　図４での水が入っていない部分の底面は，上底１８ｃｍ，下底６ｃｍ，高さ

　　１２ｃｍの台形から，１辺６ｃｍの正方形を除いたものだから，

　　　(１８＋６)×１２÷２−６×６＝１０８ｃm2

　　こぼれた水の体積は，これら２つの図形の底面積の差を底面として，高さを

　　５ｃｍとする角柱の体積にあたるので，

　　　(１０８−３６)×５＝３６０ｃm3

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答　３６０ｃm3

(2) ＡとＢが水平になるように傾けると図５のようになり，その後でＣとＤが水

　　平になるように傾けると図６のようになります。残っている水が少ないので，

　　入っている水の方に目を付けて解きます。

　　図５の直角三角形ＬＢＣの面積と，図６の２つの直角二等辺三角形ＢＣＨ，

　　ＨＤＮの面積の和が等しいので，図５の直角三角形ＪＡＫと図６の平行四辺

　　形ＭＢＮＰの面積も等しくなります。

　　２つの直角三角形ＬＢＣ，ＪＡＫは相似で，ＬＢ：ＪＡ＝ＢＣ：ＡＫなので，

　　　１２：６＝６：ＡＫ　　ＡＫ＝６×６÷１２＝３ｃｍ

　　直角三角形ＪＡＬの面積は，

　　　６×３÷２＝９ｃm2

　　平行四辺形ＭＢＮＰは底辺がＮＰで，高さが１２ｃｍだから，

　　　ＮＰ＝９÷１２＝０.７５ｃｍ

　　ＤＰ＝ＤＮ＋ＮＰだから，

　　　ＤＰ＝６＋０.７５＝６.７５ｃｍ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答　６.７５ｃｍ